10. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

1.1 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα που έχει ως αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και ως παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

    • Σύμβολα: \(\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\gamma}{\delta} = \dfrac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta}\).

  • Γινόμενο φυσικού αριθμού επί κλάσμα είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή επί τον φυσικό αριθμό και τον ίδιο παρονομαστή.

    • Σύμβολα: \(\lambda \cdot \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\lambda \cdot \alpha}{\beta}\).

  • Κάθε φυσικός αριθμός \(\alpha\) μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα: \(\alpha = \dfrac{\alpha}{1}\).

Ιδιότητες

Στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων ισχύουν όλες οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών:

  1. Αντιμεταθετική: \[\frac{a}{β} \cdot \frac{κ}{λ}=\frac{κ}{λ} \cdot \frac{a}{β}\].

  2. Προσεταιριστική: \[\frac{a}{β} \cdot \left(\frac{κ}{λ} \cdot \frac{μ}{ν}\right)=\left(\frac{a}{β} \cdot \frac{κ}{λ}\right) \cdot \frac{μ}{ν}\].

  3. Ουδέτερο Στοιχείο (η μονάδα 1): \[\frac{a}{β} \cdot 1=1\cdot \frac{a}{β}=\frac{a}{β}\].

  4. Επιμεριστική (ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση): \[\frac{a}{β} \cdot \left(\frac{κ}{λ} \pm \frac{μ}{ν}\right) = \frac{a}{β} \cdot \frac{κ}{λ} \pm \frac{a}{β} \cdot \frac{μ}{ν} \].

1.1.2 Παραδείγματα

  1. \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \dfrac{15}{28}\).

  2. \(7 \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 3}{5} = \frac{21}{5}\).

  3. \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \cdot 7}{5 \cdot 8} = \dfrac{14}{40} = \dfrac{7}{20}\) (μετά από απλοποίηση).

  4. \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{70}{6} \cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{3 \cdot 70 \cdot 8}{7 \cdot 6 \cdot 5} = \dfrac{1680}{210} = 8\).

  5. Τα \(\dfrac{5}{9}\) ενός σχολείου με \(252\) μαθητές είναι αγόρια: \(\dfrac{5}{9} \cdot 252 = \dfrac{5 \cdot 252}{9} = \dfrac{1260}{9} = 140\) αγόρια.

1.1.3 Ασκήσεις

Υπολογίστε τα γινόμενα (απλοποιήστε όπου είναι δυνατόν):

  1. \(3 \cdot \dfrac{3}{4}\)

  2. \(7 \cdot \dfrac{10}{14}\)

  3. \(\dfrac{4}{2} \cdot 2\)

  4. \(\dfrac{5}{100} \cdot 10\)

  5. \(\dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{100}{5}\)

  6. \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{9}\)

  7. \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{15}\)

  8. \(2 \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{21}\)

  9. \(4 \dfrac{1}{5} \cdot 2 \dfrac{1}{2}\)

  10. \(3 \dfrac{1}{8} \cdot 10\)

  11. \(1 \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}\)

  12. \(\dfrac{8}{27} \cdot \dfrac{9}{16}\)

  13. \(\dfrac{11}{18} \cdot \dfrac{21}{22}\)

  14. \(\dfrac{25}{44} \cdot \dfrac{66}{50}\)

  15. \(\dfrac{32}{26} \cdot \dfrac{39}{96}\)

1.2 Αντίστροφος ενός Αριθμού

1.2.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Δύο αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα (1).

  • Ο αντίστροφος ενός κλάσματος \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) είναι το κλάσμα \(\dfrac{\beta}{\alpha}\), καθώς \(\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha} = 1\).

  • Ο αντίστροφος ενός φυσικού αριθμού \(\alpha\) είναι το κλάσμα \(\dfrac{1}{\alpha}\).

  • Ο αριθμός 1 είναι ο μόνος που ισούται με τον αντίστροφό του.

  • Ο αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο.

Ιδιότητες

  • Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι πάντα ομόσημοι (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσημο).

  • Αν \(\alpha \cdot \beta = 1\), τότε ο \(\alpha\) είναι αντίστροφος του \(\beta\) και ο \(\beta\) είναι αντίστροφος του \(\alpha\).

  • Ο αντίστροφος ενός κλάσματος μεγαλύτερου της μονάδας είναι κλάσμα μικρότερο της μονάδας και αντιστρόφως.

1.2.2 Παραδείγματα

  1. Ο αντίστροφος του \(\dfrac{4}{7}\) είναι το \(\dfrac{7}{4}\).

  2. Ο αντίστροφος του \(72\) είναι το \(\dfrac{1}{72}\).

  3. Ο αντίστροφος του \(\dfrac{1}{3}\) είναι το \(3\).

  4. Ο αντίστροφος του κλάσματος \(\dfrac{739}{8}\) είναι το \(\dfrac{8}{739}\).

  5. Για να βρούμε τον αντίστροφο του μεικτού \(15 \dfrac{1}{3}\), τον τρέπουμε σε κλάσμα \(\dfrac{46}{3}\), οπότε ο αντίστροφος είναι το \(\dfrac{3}{46}\).

1.2.3 Ασκήσεις

Βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών:

  1. \(\dfrac{5}{8}\)

  2. \(\dfrac{2}{7}\)

  3. \(1 \dfrac{1}{2}\)

  4. \(5\)

  5. \(23\)

  6. \(0,3\)

  7. \(4,08\)

  8. \(\dfrac{21}{12}\)

  9. \(\dfrac{1}{2007}\)

  10. \(13 \dfrac{3}{4}\)

  11. \(2 \dfrac{2}{3}\)

  12. \(\dfrac{x}{y}\) (με \(x, y \neq 0\))

  13. \(\dfrac{\alpha+1}{\beta}\)

  14. \(3^2\)

  15. \(1\)

1.3 Ιδιότητες Πράξεων και Αριθμητικές Παραστάσεις

1.3.1 Θεωρία και Ορισμοί

  • Αριθμητική παράσταση ονομάζεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων.

  • Τιμή της παράστασης είναι το τελικό αποτέλεσμα μετά την εκτέλεση όλων των πράξεων.

Προτεραιότητα Πράξεων:

  1. Παρενθέσεις (ξεκινώντας από την εσωτερική).

  2. Δυνάμεις.

  3. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά).

  4. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται).

1.3.2 Παραδείγματα

  1. Χρήση επιμεριστικής: \(89 \cdot 7 + 89 \cdot 3 = 89 \cdot (7 + 3) = 89 \cdot 10 = 890\).

  2. \(23 \cdot 49 + 77 \cdot 49 = (23 + 77) \cdot 49 = 100 \cdot 49 = 4.900\).

  3. \(\left(\dfrac{6}{5} + \dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{20}\).

  4. \(\left(\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{15}\right) \cdot \dfrac{3}{8} = \left(\dfrac{35}{15} - \dfrac{2}{15}\right) \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{33}{15} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{5} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{33}{40}\).

  5. Σύνθετη παράσταση:

\[ \begin{align} \left[\dfrac{2}{3} \cdot (-3) - (-2) \cdot (-9) \right] : \left[0,4 \cdot (-10) - (-0,2) \cdot (-5)\right] + 7 &= \\ (-2 - 18) : (-4 - 1) + 7 &= \\ (-20) : (-5) + 7 &= \\ 4 + 7 &= \\ 11 \end{align} \]

1.3.3 Ασκήσεις

Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων:

  1. \(\dfrac{6}{5} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{4}\)

  2. \(\left(\dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{1}{4}\)

  3. \(\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{3}{8}\)

  4. \(12 \cdot 147 + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 150\) (με επιμεριστική)

  5. \(24 \cdot 16 + 24 \cdot 18 - 24 \cdot 32\) (με επιμεριστική)

  6. \(2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{1}{3}\)

  7. \(2 \cdot \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{1}{8} \cdot 8\)

  8. \(3 \cdot 5^2 + 2^2\)

  9. \(3 \cdot (5 + 2)^2\)

  10. \((13 - 2)^4 + 5 \cdot 3^2\)

  11. \(\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{15}\)

  12. \(2 \cdot 8 \cdot 5^4 + 70.000 + (10^2)^2 + 2^4 \cdot 25^2\)

  13. \(4^3 \cdot 2^2 \cdot 3^0 - 1^{15} \cdot (3 + 2)^2 + 8^3 : (2^2)^4\)

  14. \(\dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{10}}{\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{6}}\) (Σύνθετο κλάσμα)

  15. \(\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3}\right) \cdot 12\)

1.4 Ασκήσεων …. συνέχεια

Λυμένες Ασκήσεις

  1. Πολλαπλασιάστε \(\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{4}{5}\).

Λύση: \(\dfrac{(2 \cdot 4)}{(7 \cdot 5)} = \dfrac{8}{35}\).

  1. Πολλαπλασιάστε \(2 \cdot \dfrac{3}{5}\).

Λύση: \(\dfrac{(2 \cdot 3)}{5} = \dfrac{6}{5}\).

  1. Βρείτε τα \(\dfrac{3}{4}\) του 100.

Λύση: \(\dfrac{3}{4} \cdot 100 = \dfrac{(3 \cdot 100)}{4} = \dfrac{300}{4} = 75\).

  1. Βρείτε το \(\dfrac{1}{5}\) του 4.

Λύση: \(\dfrac{1}{5} \cdot 4 = \dfrac{4}{5}\).

  1. Βρείτε τα \(\dfrac{2}{3}\) του 200.

Λύση: \(\dfrac{2}{3} \cdot 200 = \dfrac{400}{3}\).


Άλυτες Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε το γινόμενο: \(\left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) \cdot 4\).

  2. Βρείτε τα \(\dfrac{5}{9}\) του 252.

  3. Βρείτε τα \(\dfrac{3}{4}\) του 372.

  4. Ένας βοσκός έχει 385 ζώα.

Τα \(\dfrac{2}{5}\) είναι γίδια.

Πόσα είναι τα γίδια;

  1. Ένας οινοπώλης πούλησε τα \(\dfrac{5}{8}\) από τα 184 κιλά κρασί. Πόσα κιλά πούλησε;

  2. Βρείτε τα \(\dfrac{4}{5}\) των \(\dfrac{2}{3}\) των 60 €.

  3. Πολλαπλασιάστε \(\dfrac{3}{8} \cdot 12\).

  4. Βρείτε το \(\dfrac{1}{4}\) της αξίας ενός υπολογιστή που κοστίζει 1.500 €.

  5. Πόσο είναι τα \(\dfrac{9}{7}\) του 60;

  6. Αν το ένα κιλό πατάτες κοστίζει 2 €, πόσο κοστίζουν τα \(4\) κιλά, πόσο τα \(\dfrac{5}{8}\) κιλά;

  1. Να υπολογιστεί η παράσταση (2 Παρενθέσεις)

\[\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right) \times \left(5 - \frac{1}{3}\right)\]

Λύση

………………………………

……………………………….

Τελική Απάντηση \(\dfrac{35}{6}\) ή \(5 \dfrac{5}{6}\)

  1. Να υπολογίσετε τη παράσταση (3 Παρενθέσεις)

\[3 \times \left[\left(\frac{1}{2} + 1\right) - \left(\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\right)\right]\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερική παρένθεση πρόσθεσης

………………………………………..

………………………………………

Βήμα 2: Εσωτερική παρένθεση πολλαπλασιασμού

………………………………………..

……………………………………….

Βήμα 3: Αφαίρεση εντός της αγκύλης

………………………………….

…………………………………

Βήμα 4: Τελικός πολλαπλασιασμός με τον φυσικό 3 \(3 \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\).

Τελική Απάντηση \(4\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (4 Παρενθέσεις & Εσωτερικές)

\[\left[ \left(2 \times \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{3}{10} - \frac{1}{5}\right)\right ] \times \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right) \times 2 \right]\]

Λύση

Βήμα 1: Πρώτη αγκύλη (εσωτερικές πράξεις)

……………………………………………

Άθροισμα: \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).

Βήμα 2: Δεύτερη αγκύλη (εσωτερικές πράξεις)

………………………………………..

Πολλαπλασιασμός: \(\dfrac{3}{2} \times 2 = 3\).

Βήμα 3: Τελικός πολλαπλασιασμός \(\dfrac{1}{2} \times 3 = \dfrac{3}{2}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{3}{2}\) ή \(1 \dfrac{1}{2}\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (Σύνθετη με αλληλουχία πράξεων)

\[\left\{ \left[ \left( 4 - \frac{1}{2} \right) \times \frac{2}{7} \right] + \left( \frac{1}{3} \times 2 \right) \right\} \times \frac{1}{2}\]

Λύση

Βήμα 1: Εσωτερική παρένθεση αφαίρεσης \((4 - \dfrac{1}{2}) = \dfrac{8}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\).

Βήμα 2: Πολλαπλασιασμός εντός αγκύλης \(\dfrac{7}{2} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{14}{14} = 1\).

Βήμα 3: Δεύτερη παρένθεση και άθροισμα αγκίστρου \(\left(\dfrac{1}{3} \times 2\right) = \dfrac{2}{3}\). Στο άγκιστρο: \(1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\).

Βήμα 4: Τελικός πολλαπλασιασμός

……………………………………

Τελική Απάντηση \(\dfrac{5}{6}\)

  1. Υπολογίστε την παράσταση (Πολλαπλές εσωτερικές και φυσικοί)

\[2 \times \left\{ \left[ \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \right) \times 5 \right] - \left[ 2 \times \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \right] \right\}\]

Λύση

Βήμα 1: Επίλυση αριστερής αγκύλης \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{4}{4} = 1\). \(1 \times 5 = 5\).

Βήμα 2: Επίλυση δεξιάς αγκύλης \(\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3}\). \(2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\).

Βήμα 3: Αφαίρεση εντός αγκίστρου \(............................... = \dfrac{11}{3}\).

Βήμα 4: Τελικός πολλαπλασιασμός \(2 \times \dfrac{11}{3} = \dfrac{22}{3}\).

Τελική Απάντηση \(\dfrac{22}{3}\) ή \(7 \dfrac{1}{3}\)

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!